*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020

Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\) .
On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathscr{C}\) de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé.

1. Calculer la limite de la fonction \(f\)  en \(-\infty\) et interpréter graphiquement le résultat.

2. Montrer que la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathscr{C}\) .

3. Calculer \(f'(x)\) , \(f'\) étant la fonction dérivée de \(f\) , et vérifier que, pour tout nombre réel \(x\) , on a  \(f'(x) = \dfrac{f(x)}{\text{e}^x + 1}\) .

4. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\) .

5. Montrer que la courbe \(\mathscr{C}\) passe par le point  \(\text I(0~;~1)\) et que sa tangente en ce point a pour coefficient directeur \(0,\!5\) .

Partie B

Une entreprise souhaite fabriquer de façon automatisé des flûtes (verres à pied) de forme allongée de contenance \(12,\!5\) cL. Chaque flûte est composée de deux parties comme sur l'illustration ci-dessous : un pied en verre plein et un contenant de \(12,\!5\)  cL.

À l'aide de la fonction    \(f\)   définie dans la partie A, le fabricant modélise le profil du contenant de la flûte de la manière décrite ci-dessous.
Soit \(\text A\) un point de \(\mathscr{C}\) d'abscisse \(a\) strictement positive. La rotation autour de l'axe des abscisses appliquée à la partie de \(\mathscr{C}\) limitée par les points \(\text I\) et \(\text A\) engendre une surface modélisant le contenant de la flûte en prenant pour unité \(1\) cm.
Ainsi \(x\) et \(f(x)\) représentent des longueurs en centimètres et l'objectif de cette partie est de déterminer la valeur de \(a\) pour que le volume du contenant soit égal à   \(12,\!5\)  cL.

Une unité représente \(1\) cm. La valeur de  \(a\) utilisée sur le graphique ci-dessus ne correspond pas à la valeur cherchée.
Le réel  \(a\) étant strictement positif, on admet que le volume \(V(a)\) de ce solide en cm \({}^3\) est donné par la formule  \(V(a) = \pi\displaystyle\int_0^a (f(x))^2\:\text{d}x\) .

1. Vérifier, pour tout nombre réel \(x \geqslant 0\) , l'égalité  \((f(x))^2 = 4\left(\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\right)\) .

2. Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de chacune des fonctions 
\(g : x \longmapsto \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\) et \(h : x \longmapsto \dfrac{-\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}\) .

3. En déduire que, pour tout réel \(a > 0\) , \(V(a) = 4\pi\left[\ln \left(\dfrac{\text{e}^a + 1}{2} \right) + \dfrac{1}{\text{e}^a + 1} - \dfrac{1}{2}\right]\) .

4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de  \(a\) à \(0,\!1\) près, sachant qu'une flûte doit contenir  \(12,\!5\)  cL, c'est-à-dire \(125\) cm \({}^3\) . Aucune justification n'est attendue.